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| Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement. |
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Perrin OA |
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[X-ENS1] 4.33 p.156 |
Autres applications
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Cf texte de Michel Coste http://agreg-maths.univ-rennes1.fr/documentation/docs/denompoly.pdf |
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Preuve par Gl_n(F_p) cf Perrin ou H2G2 |
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$Gl_n(k)$ est isomorphe à $Gl_m(k)$ ssi $n=m$ [Peut être un X-ENS Alg 2 ou 3] On considère le sous-groupe $\{ X \in Gl_n(k) \vert X^2 =1 \}$. son image par l'isomorphisme est le groupe $\{ X \in Gl_m(k) \vert X^2 =1 \}$. On va dénombrer les classes de conjugaison des éléments de ces groupes. Or chacune de ces classes a un représentant diagonal. (Tous les éléments de ces groupes sont diagonalisables) On montre qu'il y en a exactement $2^n$ distincts (resp. $2^m$). Or ces nombres doivent être égaux donc $n=m$ |
| [Zavidovic] Un max de math |
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On dénombre les polynômes unitaires de degré d On dénombres les produits de polynômes unitaires dont le degré obtenu est d. si car >2, alors il a plus de polynômes de degré d que de polynômes de degré d que l'on peut obtenir par produit. Donc nécessairement il y en a des irréductibles. Et ce pour tout degré. --> Construction des F_q Attention : Il faut aussi connaître la théorie pour la construction des F_q sans le dénombrement : Corps de rupture et corps de décomposition. Peut mener à des question sur la clôture algébrique de F_p ! |
Nombre de matrices diagonalisables
| [Oraux X-ENS, algèbre, tome 1, exercice 1.10] pour l'idée |
| Debiasi |
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(nombre de partitions de [1, n]) X-ENS algèbre 1 |
| [Debiasi] |
| [H2G2 p. 113] |
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Il faut dans un premier temps dégager clairement les méthodes et les illustrer d'exemples significatifs. L'utilisation de séries génératrices est un outils puissant pour le calcul de certains cardinaux. Le jury s'attend à ce que les candidats sachent calculer des cardinaux classiques et certaines probabilités ! L'introduction des corps finis (même en se limitant aux cardinaux premiers) permet de créer un lien fécond avec l'algèbre linéaire. |
| /home/basile/Git/bpillet.github.io/Agreg/190/Denombrement.html | 2015-05-11 | vym 2.3.20 |