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Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie. Sous-groupes de Gl(E). Applications.

Géométrie

• Actions
  • Bruhat
    • Action sur les drapeaux
  • Décomposition LU, LDU
    • Calcul det
    • Calcul inverse
  • Changement de base
    • à gauche ou à droite
    • d'endomorphisme
    • Agit simplement et transitivement sur les bases de E.

Différents corps

• Corps finis
  • Cardinal de Gl_n(F_q)
  • p-sylows de Gl_n(F_p)
    • Thm de Sylow
• Topologie

  K = $R$ ou $C$ -> ou alors risquer gros en parlant de la topologie de Zariski.

  • Ouvert
  • Dense
    • Polynôme carac de AB = PCar BA
    • Factorisation QR sur M_n
  • Sous-groupes fermés
    • Sl_n
      • Sl_n(Z)
    • O(n)
    • Sous-groupes compacts
    • Théorème de Cartan

      Tout sous-groupe fermé de Gl_n est un groupe de Lie. En particulier une variété différentiable C^\infty.

  • Connexité
    • Gl_n(C) connexe
    • Gl_n(R)+
  • Surjectivité de l'exponentielle

    [Objectif Agrégation]

Théorie des groupes

• Générateurs
• Centre
• Groupe dérivé
  • Sl_n
• Théorème de Burnside

  [oraux X-ENS, algèbre 2]

• Décomposition
  • PGl_n(C) = C* × SL_n

Sous-groupes

Être au clair sur quels sous-groupes proviennent d'une identification Gl(E) = Gl_n(k)

• Sl_n

  distingué ! groupe dérivé ?

• Orthogonaux
  • O(n)
  • O(p,q)
  • Sp(n)
• S_n
  • Frobenius-Zolotaref
  • Tout groupe fini

    Par Cayley ! Mais c'est aussi la "représentation standard"

*

Légende

• Exemple
• Application
• Developpement
  • Parfait
  • A sa place
  • à déterminer
  • limite
  • non
• Remarque
• Attention piège
• Pour la culture /Hors programme

Références

• Perrin
• Objectif Agreg
• H2G2
• Spzirglaz